Тезис Джемса и логика

В одной из своих работ У.Джемс коснулся следующей проблемы. Является ли объект чем-то бó льшим, чем простой совокупностью свойств? Как это часто бывает в философии, разные мыслители давали взаимоисключающие ответы на поставленный вопрос. Например, Э.Кассирер не сомневался в положительном решении проблемы: “Ведь объект это нечто бó льшее, чем простая сумма свойств; он означает единство свойств, а, значит, и их взаимную обусловленность и зависимость.” Со своей стороны, У.Джемс был уверен в обратном.

Доводы У.Джемса выглядят убедительно, тогда как аргумент Э.Кассирера бьет мимо цели. Никто не будет спорить с тем, что от наличия одних свойств может зависеть наличие других. Например, свойство “металлический” обуславливает свойство “электропроводный”. Может быть, Кассирер имел в виду, что наличие некоторого свойства Р у одного объекта может повлечь наличие еще свойства Q, а у другого объекта наличие Р к появлению Q не приведет? Скажем, если некоторый объект разумен, то вывод о его смертности следует лишь в том случае, если этот объект – человек. Если же он бог, то вывод неверен, ибо, как известно, боги бессмертны. Однако в действительности речь снова идет о свойствах. Надо выделить среди объектов универсума подкласс объектов, у которых Р влечет Q, а это и означает введение соответствующего свойства. В нашем примере получим " x(Человек(х) ® Смертен(х)). Даже если нет богов, но есть единственный Бог, синглетон {Бог}будет представлять из себя свойство: " x(Бог(х) ® Бессмертен(х)).

Обратимся теперь к рассуждениям Джемса. Главное в них – вывод о том, что объект – это совокупность атрибутов. Назовем этот вывод тезисом Джемса. С логической точки зрения получается, например, что мел – это множество предикатов m, элементами которого будут такие свойства, как белизна, хрупкость, цилиндрическая форма, нерастворимость в воде и т.д., но при этом данное множество m не содержит ни одного предиката, мелу не присущего (скажем, горючесть). Если каждый объект – это множество предикатов и q – объект, то для всякого предиката Р утверждение P(q) истинно тогда и только тогда, когда P Î q (именно так, а не в ставшем привычном виде q Î P).

Правда, тут возникает вопрос: “А что такое предикат P”? Если мы скажем, что это некоторое множество объектов (содержащее, между прочим, и q), то налицо круг в определении. Выход найти нетрудно. Подобно тому, как объектная (субстанциальная) точка зрения постулирует изначальное существование объектов, а затем определяет предикаты как множества объектов, безобъектная или предикатная (атрибутивная) онтология постулирует существование свойств и отношений, а затем определяет объекты как совокупности свойств и отношений. При первом подходе объекты – носители атрибутов – уподобляются вешалкам, на которых висят предикаты. Второй подход рассматривает объекты как комплексы атрибутов: вначале имеются предикаты, объекты появляются потом. С чего-то все равно надо начинать, поэтому неизбежно исходный пункт оказывается несводимым к чему-либо иному.

На самом деле, как будет видно из дальнейшего, все не так просто. В примерах У.Джемса фигурируют именно свойства, то есть одноместные отношения. Для свойств выражение P(q) Û P Î q имеет прозрачный смысл. А как быть в том случае, если речь должна идти об отношениях между двумя, тремя и т.д. объектами? Джемс, по-видимому, вообще не заметил этого вопроса. Но в нем и заключается суть проблемы. Факт, что Джемс был моложе Пирса. Значит, предикат “моложе” присущ Джемсу. Однако он был старше Дьюи, и это тоже факт. А быть старше – значит не быть моложе. Так надо или нет включать отношение “моложе” в совокупность предикатов такого объекта, как Джемс? Напрашивается решение включить в данный объект не отношение, а свойство “моложе Пирса”, исключив из него свойство “моложе Дьюи”. Но это не годится, поскольку предварительно требуется определить, из каких предикатов состоят объекты Пирс и Дьюи, и тут выяснится, что в первый должно войти свойство “старше Джемса”, а во второй – “моложе Джемса”. Круг замкнулся. Тем не менее, выход из тупика существует.

Построим фрагмент безобъектной (в том смысле, что объекты не являются первичными сущностями) онтологии.

Пусть дан бесконечный перечень одноместных предикатов P, P, ..., P, ...; бесконечный перечень двухместных предикатов P, P, ..., P, ...; и вообще для каждого натурального m>0 имеем ряд P, P, ..., P, ... . Это общая конструкция; в каждом конкретном случае можно ограничиться каким-то подмножеством (быть может, конечным) предикатов из этого перечня (который в дальнейшем придется модифицировать), выступающим в качестве универсума. Существенно, однако, чтобы универсум предикатов U был непуст. В противном случае просто не о чем говорить.

Как мы видели, проще всего определить объект на свойствах – это произвольная (возможно, пустая) совокупность одноместных предикатов из универсума U. На время предположим (пока не перейдем к общей ситуации), что U содержит только одноместные предикаты. Будем говорить, что объект q обладает свойством P, если P Î q. Это на уровне семантики. На синтаксическом уровне сохраним привычную “объектно-субстанциальную” форму записи: P(q) и $ xP(x). В случае, если P Ï q, естественно, Ø P(q) и Ø $ xP(x).

А если допустить существование пустого объекта v? Тогда не существует базисного (входящего в универсум U) свойства, которым этот объект обладает. Следовательно, для любого свойства P из U имеет место P Ï v и будут истинными утверждения Ø P(v). Например, круглый квадрат не является ни круглым, ни квадратным – вообще никакие конкретные (базисные) свойства ему не присущи. Наличие пустого объекта заставляет принять формулы вида $ xØ P(x).

Двойственным образом, возникает понятие универсального объекта w такого, что для любого свойства P имеет место P Î w и будут истинными утверждения P(w) и $ xP(x).

Однако совсем не обязательно вводить в рассмотрение пустой и универсальный объекты, тем более что нельзя определить их в стандартном языке исчисления предикатов первого порядка конечным набором аксиом, если универсум предикатов бесконечен. Ведь квантификация по-прежнему осуществляется по объектам, а не по предикатам.

Настала пора обобщить безобъектный подход на случай предикатов произвольной местности. В стандартной объектной онтологии собственно отношения (предикаты, имеющие местность больше или равной двум) в отличие от свойств (одноместных предикатов) не задаются как совокупности объектов. Приходится вводить промежуточную категорию упорядоченной n-ки объектов, и лишь затем определять n-местный предикат как совокупность упорядоченных n-ок объектов. Аналогичным образом, в безобъектной онтологии приходится учитывать дополнительные характеристики отношений.

Во-первых, объекту присуще не некоторое отношение как таковое, а отношение с помеченным местом. Например, двухместное отношение < (“меньше”) не может просто так принадлежать объекту 0 (“ноль”). Входящее в рассматриваемый объект отношение принадлежит ему вместе с указанием места, которое в отношении способен занимать определяемый объект. Отношение < имеет два места, указать которые можно при помощи помещения соответствующих верхних индексов слева от знака отношения: ¹< и ²<. Если теперь положить ¹< Î 0, но ²< Ï 0, то можно заключить, что 0 – это такой объект, который занимает только первое место из двух в отношении <. Следовательно, при таком определении 0 будет меньше любого другого объекта q такого, что ²< Î q.

Объект 0 удалось определить потому, что в него входит, так сказать, только первая часть отношения <. А как быть в том случае, если и ¹<, и ²< принадлежат объекту? Например, пусть ¹< Î 5 и ²< Î 5. Надо ли тогда считать, что 5<5? Далее, если ¹< Î 4 и ²< Î 4, то обязаны ли мы принимать как 4<5, так и 5<4? – Ведь объектам 4 и 5 принадлежат обе части отношения < (“меньше”)! Очевидно, что вырисовывается неудовлетворительная картина. Необходимо найти еще какую-то характеристику отношений, которая до сих пор ускользала от нас.

Итак, во-вторых, чтобы объекту могли быть присущи отношения, требуется еще одна дополнительная характеристика. Помимо места отношения, должна быть указана его локализация. Отношение входит в объект не глобально (это вело бы к неопределенностям, типа отмеченных выше), а локально, то есть частично и лишь в некотором аспекте. Локальность отношения с формальной точки зрения будет представлена индексом из произвольного множества индексов (совсем не обязательно упорядоченного каким-либо образом), который ставится слева от знака отношения под указателем места.

Вернемся к обсуждаемому примеру. Допустим, мы хотим, чтобы было Ø (5<5), (4<5) и Ø (5<4). Положим 5={<, <} и 4={<}, причем первый индекс локализации неравен второму: i¹ j. Утверждение вида aRb, где R – символ двухместного отношения, будет истинно, если RÎ a и RÎ b для некоторого индекса локализации i; в противном случае утверждение aRb ложно. Иными словами, объекты a и b будут находится в отношении R, если объекту а принадлежит первое место отношения R, объекту b – второе, и при этом индексы локализации отношения R для a и b совпадают. Отсюда (5<5) ложно. Действительно, 5 может находиться на любом из мест отношения <, однако в нашем примере i¹ j, то есть индексы локализации не совпадают. Но (4<5) истинно, так как <Î 4 и <Î 5. В свою очередь, утверждение 5<4 ложно, поскольку, хотя индекс локализации совпадает, индексы мест (не путать с местностью!) отношения < не соответствуют расположению объектов 5 и 4.

Итак, чтобы построить безобъектную онтологию, мы должны для каждого предиката задать, вообще говоря, четыре характеристики: местность Р^m, номер в перечне Р_n, выделенное место ⁱР и индекс локализации _jР. Следовательно, в общем случае исходный универсум атрибутов или предикатов U состоит из сущностей, которые можно представить символами вида P. Если каждый предикат из U обозначен уникальным символом (например, <, >, = и т.д.), то, разумеется, номера предикатов и их местность можно не указывать. Если рассматривается одноместное отношение, то есть если перед нами свойство, можно обойтись как без указания места, так и без указания индекса локализации; ничего удивительного в этом нет – ведь известно, что логика свойств гораздо проще логики отношений (так, первая разрешима, а вторая неразрешима).

После того, как универсум U задан, необходимо определить хотя бы один объект, построенный из предикатов универсума (впрочем, объект может быть и пустым). На процесс построения объектов не накладывается никаких ограничений; каждый объект может создаваться независимо от остальных. Другой вопрос, что за мир при этом получится. Если мы хотим получить мир, отвечающий нашим целям или максимально похожий на мир действительный, то процесс построения уже не будет произвольным. Так, желая сохранить арифметику, мы не должны принимать определений объектов – чисел, – нарушающих арифметические законы. Например, мы можем, конечно, положить <Î 5, <Î 4, получив в результате утверждение 5<4 как истину, однако надо отдавать себе отчет, что случае такого предиката < речь уже не может идти о привычном отношении “меньше, чем” на натуральных числах. Мы вообще окажемся за рамками арифметики, если наши числа будут конечными объектами (ведь в поле стандартного отношения < находятся все числа, а их бесконечно много) и т.д.

Описанные трудности легко ощутить, если попробовать задать какой-либо мир на основе безобъектной онтологии. Пусть это будет, например, все тот же мир неотрицательных целых чисел. Кстати говоря, в рассматриваемом контексте предыдущее предложение выглядит явно ориентированным на объектную онтологию. Лучше (хотя это не привычно) говорить о мире арифметических предикатов. Как строить такой мир, чтобы в результате получились неотрицательные целые числа со стандартными арифметическими свойствами?

Прежде всего, мы должны сказать, что такое равенство чисел. Здесь нет проблемы. Коль скоро такие объекты, как числа, определены, это будут теоретико-множественные совокупности, вопрос о равенстве которых решается обычным для теории множеств образом. Но как определить числа? В соответствии с принципами безобъектной онтологии, начинать следует с определения универсума атрибутов U. Известно, что базисными арифметическими операциями являются ¢ (следующий за), + (сложение) и ´ (умножение). Выше обсуждались только предикаты, а не операции (функции). Однако каждая n-местная операция может быть представлена n+1-местным отношением, так что одноместная функция ¢ будет представлена двухместным отношением, двухместные операции + и ´ представляются трехместными отношениями. В число исходных дескриптивных (нелогических) символов арифметического языка входит также индивидная константа 0 (нуль). Но в безобъектной структуре изначально нет никаких индивидов, поэтому объект 0 должен быть определен в терминах базисных отношений. Покажем, как в принципе это можно делать.

Но прежде требуется описать универсум U. Каждый базисный арифметический предикат Р (один двухместный и два трехместных) будем представлять в виде Р, где индекс i – это номер места (1,2 или 3), а j является элементом бесконечного множества индексов I. Обращаем внимание, что номера мест – это не числа нашей теории. Например, мы не собираемся их складывать или умножать. Можно было бы эти номера обозначить буквами a,b,c.

Ясно, что так как элементов (предикатов) в каждом числе бесконечно много, выписать их все один за другим не представляется возможным. Однако можно задавать правила, в соответствии с которыми элемент универсума заносится или не заносится в объект. Например, так как арифметические операции проводятся со всеми числами без ограничения с однозначным результатом, принимаются следующие правила:

" x" y$ !z$ ! i ((+) Î x & (+) Î y & (+) Î z),

" x" y$ !z$ ! i ((´ ) Î x & (´ ) Î y & (´ ) Î z) и

" x$ !y$ ! i ((¢ ) Î x & (¢ ) Î y).

Если отказаться от требования единственности объекта (фиксируемого при помощи символа ! после квантора существования), то могли бы получить, скажем, (¢ ) Î q, (¢ ) Î r и (¢ ) Î p, где r¹ p, что нарушило бы однозначность операции ¢ . Точно к таким же последствиям могла бы привести не единственность индекса локализации: при (¢ ) Î q, (¢ ) Î r для индекса j ¹ i возможна ситуация (¢ ) Î q и (¢ ) Î p при r ¹ p.

Одно из правил для нуля будет таким: " x" i ((+) Î x & (+) Î 0 ® (+) Î x). Чтобы понять эту семантическую формулу, достаточно ее переинтерпретировать в привычных объектных терминах. Трехместное отношение + является с этой точки зрения множеством упорядоченных троек чисел. Среди них имеются тройки, у которых на втором месте стоит нуль. Это условие импликации. Тогда первый и третий члены тройки будут совпадать. Напомним, что, по определению, при совпадении индекса локализации и распределении всех мест, то есть из (+) Î q, (+) Î 0 и (+) Î q следует, что утверждение +(q,0,q) истинно (или, в функциональной записи, q+0=q).

Еще одно правило для нуля касается трехместного отношения ´ : " x" i ((´ ) Î x & (´ ) Î 0 ® (´ ) Î 0). Смысл его очевиден: для любого числа и любого индекса локализации (на самом деле, как и в предыдущем случае, в силу приведенных выше правил однозначности найдется единственный индекс, удовлетворяющий условию импликации) результат умножения числа на нуль будет нулем.

Наконец, примем правило " x" i ((¢ ) Î x ® (¢ ) Ï 0), то есть число, следующее за другим числом, не будет нулем.

Исчерпаны ли тем самым все случаи вхождения или не вхождения базисных предикатов в число 0? Нет, остаются не сформулированными правила, заменяющие сложение и умножение на нуль справа соответствующими операциями с нулем слева. Но эти правила нетрудно сформулировать по аналогии с предыдущими. Тем самым будут охвачены все случаи вступления нуля в базисные отношения ¢ , + и ´ , и, тем самым, все составляющие его элементы-предикаты. Нуль, таким образом, определен в терминах безобъектной онтологии. С содержательной точки зрения каждый элемент нуля является предикатом, представляющим одну-единственную упорядоченную n-ку чисел, в которую входит нуль. Например, тройка чисел <8, 0, 0> в объектной онтологии входит как элемент в трехместное отношение ´ . В построенной безобъектной онтологии этой же тройке соответствует некоторый предикат _i´ с однозначно определенным индексом локализации i: скажем, тройке <9, 0, 0> будет соответствовать какой-то другой предикат _j´ , где i ¹ j. Используя запись ´ , я указываю именно на число 8 – первое число в тройке с индексом i, а записывая ´ , обозначаю число 9. Но при этом мы рассматриваем и сопоставляем две онтологии одновременно. В самих записях _j´ , ´ и т.п. как таковых нет никаких указаний на числа как индивиды. Ведь ´ – знак умножения, но чтó на чтó умножается, в этих обозначениях не указывается. Напротив, индивиды определяются через постулирование их способностей вступать или не вступать в определенные отношения, стоять или не стоять в определенных местах этих отношений. Нуль – это такой индивид, который содержит в себе третье место отношения умножения всякий раз, когда он содержит первое или второе место этого же отношения. Но место отношения – это не индивид объектной онтологии, а характеристика предиката – базисной сущности безобъектной онтологии. Действительно, одно дело сказать, что нуль появляется на тех или иных местах отношений, существуя (в логическом плане) до их определения, и другое дело сказать, что нуль – это и есть совокупность определенных мест базисных отношений, начинающая существовать после того, как эти характеристики отношений заданы.

Но насколько существенно различие между объектной и безобъектной онтологиями? Рассмотрим таблицу, в которой параллельно представлены обе эти онтологии.

Из таблицы видно, что различия простираются только до определений выполнимости и истинности атомарных формул включительно. После этого все определения совпадают.

Покажем теперь, как объектную интерпретацию атомарных формул перестраивать в безобъектную и наоборот. Превратить объектную онтологию в безобъектную легко: достаточно каждой n-ке индивидов <a₁, a₂, ..., a_n> Î R (так как ясно, что R n-местный предикат, верхний правый индекс опущен) сопоставить один и только один индекс локализации i, а затем для каждого k 1 £ k £ n положить R Î U¢ иR Î a. В результате будет образован безобъектный универсум U¢ и каждому индивиду из объектного универсума a Î U будет сопоставлено подмножество a Ì U¢ , являющееся индивидом, определенным через комплекс атрибутов. В силу такого построения <a₁, a₂, ..., a_n> Î R Û $ ! i (R Î a) для всех k 1 £ k £ n.

Согласно данному выше определению это означает, что как истинные, так и ложные атомарные формулы в объектной и безобъектной онтологиях одни и те же. Совпадают в этих онтологиях и классы выполнимых и не выполнимых атомарных формул. Но это все, что нужно для того, чтобы в них совпали множества всех истинных, ложных, выполнимых и невыполнимых формул соответственно. Таким образом, любая объектная структура М некоторого первопорядкового языка L преобразуется в элементарно эквивалентную безобъектную структуру М¢ того же самого языка L.

Пусть теперь дана безобъектная структура М¢ языка L, имеющая универсум U¢ . Возьмем предикат R(a₁, a₂, ..., a_n). Возможны два случая. Во-первых, R(a₁, a₂, ..., a_n) истинно в М¢ . Положим a_1Î U, a_2Î U, ..., a_nÎ U и <a₁, a₂, ..., a_n> Î R. Во-вторых, R(a₁, a₂, ..., a_n) ложно в М¢ . Положим a_1Î U, a_2Î U, ..., a_nÎ U и <a₁, a₂, ..., a_n> Ï R. В результате получим обычную (объектную) структуру М языка L.

Вновь получается, что как истинные, так и ложные атомарные формулы в объектной и безобъектной онтологиях одни и те же. Совпадают в этих онтологиях и классы выполнимых и не выполнимых атомарных формул. Но это все, что нужно для того, чтобы в них совпали множества всех истинных, ложных, выполнимых и невыполнимых формул соответственно. Таким образом, любая безобъектная структура М¢ некоторого первопорядкового языка L преобразуется в элементарно эквивалентную объектную структуру М того же самого языка L.

Объединяя вместе оба только что установленных факта, получаем следующее утверждение.

Теорема. Для любой объектной (безобъектной) структуры М (М’) для языка L существует элементарно эквивалентная ей безобъектная (объектная) структура М’ (М) для L, каков бы ни был первопорядковый язык L.

Итак, с точки зрения обеспечения элементарной эквивалентности безразлично, какую – объектную (субстанциальную) или безобъектную (атрибутивную) – онтологию принимать.